Richard Borcherds' Complete List of 25-Dimensional Unimodular Lattices

Part of the Catalogue of Lattices which is a joint project of Gabriele Nebe, University of Ulm (nebe@mathematik.uni-ulm.de) and Neil J. A. Sloane, AT&T Labs-Research, (njas@research.att.com).

The Complete List of 25-Dimensional Unimodular Lattices

Richard Borcherds
Department of Pure Mathematics and Mathematical Statistics
University of Cambridge
Cambridge, England
Email address R.E.Borcherds@pmms.cam.ac.uk

Taken from R. E. Borcherds, The Leech Lattice and Other Lattices, Ph. D. Dissertation, University of Cambridge, 1984.

Table -4.  The norm -4 vectors of II25,1.

There is a natural 1:1 correspondence between the elements of the following sets:

(1)
Orbits of norm -4 vectors u in II25,1 under Aut(II25,1).
(2)
Orbits of norm -4 vectors in the fundamental domain D of II25,1 under Aut(D).
(3)
Orbits of norm -1 vectors v of I25,1 under Aut(I25,1).
(4)
25 dimensional unimodular positive definite lattices L.
(5)
Unimodular lattices L1 of dimension at most 25 with no vectors of norm 1.
(6)
25 dimensional even lattices L2 of determinant 4.
L1 is the orthogonal complement of the norm 1 vectors of L, L2 is the lattice of elements of L of even norm, L2 is isomorphic to u^, and L is isomorphic to v^. Table -4 lists the 665 elements of any of these sets.

The height t is the height of the norm -4 vector u of D, in other words -(u,w) where w is the Weyl vector of D. The things in table -4 are listed in increasing order of their height.

Dim is the dimension of the lattice L1. A capital E after the dimension means that L1 is even.

The column ``roots'' gives the Dynkin diagram of the norm 2 vectors of L2 arranged into orbits under Aut(L2).

``Group'' gives the order of the subgroup of Aut(D) fixing u. The group Aut(L) @ Aut(L2) is of the form 2×R.G where R is the group generated by the reflections of norm 2 vectors of L, G is the group described in the column ``group'', and 2 is the group of order 2 generated by -1. If dim(L1) £ 24 then Aut(L1) is of the form R.G where R is the reflection group of L1 and G is as above.

For any root r of u^ the vector u+r is a norm -2 vector of II25,1. This vector u can be found as follows. Let X be the component of the Dynkin diagram of u^ to which u belongs and let h be the Coxeter number of X. Then r+u is conjugate to a norm -2 vector of II25,1 in D of height t-h+1 (or t-h if the entry under ``Dim'' is 24E) whose letter is the letter corresponding to X in the column headed ``norm -2's''. For example let u be the vector of height 6 and root system a22a110. Then the norm -2 vectors corresponding to roots from the components a2 or a1 have heights 6-3+1 and 6-2+1 and letters a and b, so they are the vectors 4a and 5b of table -2.

If dim(L1) £ 24 then the column ``neighbors'' gives the two even neighbors of L1+I24-dim(L1). If dim(L1) £ 23 then both neighbors are isomorphic so only one is listed, and if L1 is a Niemeier lattice then the neighbor is preceded by 2 (to indicate that the corresponding norm 0 vector is twice a primitive vector). If the two neighbors are isomorphic then there is an automorphism of L exchanging them.



Height Dim Roots Group norm -2's Neighbors
1  24E   8315553613086720000   2L
2  23 a12  84610842624000  a L
2  24  1002795171840   LA124
3  25 a12  88704000  a 
4  24 a18  20643840  a A124 A124
4  25 a22  26127360  a 
4  25 a16  138240  a 
5  24 a112  190080  a A124 A212
5  25 a2a17  5040  aa 
5  25 a110  1920  a 
6  23 a116a12  645120  ca A124
6  24 a22a110  5760  ab A212A212
6  24 a116  43008  c A124A38
6  25 a3a18  21504  ac 
6  25 a22a18  128  ab 
6  25 a2a110a1  120  abc 
6  25 a18a16  1152  bc 
7  24 a24a18  384  bb A212A38
7  24E  a124  244823040  a 2A124
7  25 a25a13  720  bb 
7  25 a3a2a19  72  acb 
7  25 a24a14a12  24  bba 
7  25 a3a112  1440  ab 
7  25 a23a16a13  12  bbb 
7  25 a22a112  144  cb 
8  22 a3a122  887040  ae A124
8  23 a26a16a12  1440  bda A212
8  24 a32a112  768  cc A38A38
8  24 a3a24a16  96  bbb A38A38
8  24 a28  672  a A38A38
8  24 a26a16  240  bd A212 A46
8  24 a124  138240  e A124D46
8  25 a4a112  1440  ad 
8  25 a3a24a14  16  bbb 
8  25 a32a18a12  64  cbc 
8  25 a3a23a16a1  12  bbbc 
8  25 a3a23a13a13a1  6  bbbbd 
8  25 a24a22a14  8  bab 
8  25 a3a22a14a14a12  16  bbcbd 
8  25 a24a2a14a12a1  8  bbbdb 
8  25 a24a18a12  48  bdc 
8  25 a3a115a1  720  cce 
9  24 a32a24a14  16  bbb A38 A46
9  24 a28a14  384  dc A212A54D4
9  25 a4a23a16a1  12  bdbb 
9  25 a32a24a12  16  bba 
9  25 a32a22a2a14a1  4  bbcba 
9  25 a3a3a22a2a12a12a1  2  bbbbbbb 
9  25 a3a26a12  6  abb 
9  25 a32a22a14a14  8  bcbb 
9  25 a3a24a2a14a1  8  bbbbc 
9  25 a3a22a22a2a12a12a1  2  bbbdbbb 
10  22 a3a210  2880  ac A212
10  23 a34a18a12  384  cfa A38
10  23 a33a24a12a12  48  bbea A38
10  24 a34a22a12  32  bab A46A46
10  24 a4a3a24a14  16  bdbc A46A46
10  24 a32a3a24a12  16  bbbe A38A54D4
10  24 a34a14a14  48  cdf A38A54D4
10  24 a34a18  384  cd A38D46
10  24E  a212  190080  a 2A212
10  25 a35  1920  c 
10  25 d4a24a16  144  bcd 
10  25 d4a3a112  576  ced 
10  25 a5a115  720  cf 
10  25 a4a3a24a12  8  bdbb 
10  25 a33a3a2a13  6  bcbb 
10  25 a4a3a22a2a12a12a1  2  bdbbbce 
10  25 a33a3a14a12  24  bcce 
10  25 a32a32a14a12  16  cbbd 
10  25 a4a26a12  6  abe 
10  25 a4a3a22a14a12a12  4  bdbccf 
10  25 a32a3a22a2a12a1  2  bbbbbc 
10  25 a32a3a22a2a1a1a1  2  bbbadbc 
10  25 a4a25a15  10  bbc 
10  25 a32a26  48  da 
10  25 a32a24a22  8  bba 
10  25 a33a22a13a12a1  12  bbdcf 
10  25 a3a3a3a22a12a1a1a1a1  2  cbbbcebfd 
10  25 a3a3a22a22a2a12a1  2  bbbbbee 
10  25 a32a24a14a12  8  dbcf 
10  25 a33a112  48  cf 
10  25 a3a26a2a13  12  dbce 
11  24 a4a32a3a22a12  4  bbbbb A46A54D4
11  24 a42a24a14  16  dca A46A54D4
11  24 a36  240  a A46D46
11  24 a34a24  24  be A38 A64
11  25 a5a24a2a14  8  befb 
11  25 d4a3a24a14  8  bcda 
11  25 a4a32a3a2a12a1  2  bbbcba 
11  25 a42a22a2a14a1  4  dcbbb 
11  25 a4a32a24  4  bbb 
11  25 a4a33a16  6  cbb 
11  25 a4a32a22a2a12a1  2  bbbfab 
11  25 a4a3a3a2a2a2a1a1a1  1  bbbbccbba 
11  25 a4a3a3a2a2a2a1a1a1  1  bbbbecbbb 
11  25 a34a3a14  8  bab 
11  25 a32a32a22a2a1  2  bbbbb 
11  25 a32a3a3a22a2a1  2  bbabda 
11  25 a4a3a22a22a2a12a1  2  bbeccba 
11  25 a32a32a22a14  4  bbdb 
12  22 a36a3a12  96  dag A38
12  23 a42a32a22a12a12  8  bcbha A46
12  23 a4a35a12  40  aba A46
12  24 d4a4a26  24  dca A54D4A54D4
12  24 d4a34a14  32  cde A54D4A54D4
12  24 a5a33a16a1  24  cfec A54D4A54D4
12  24 a42a32a3a12  8  bbbd A54D4A54D4
12  24 a5a32a24a1  16  bebf A54D4A54D4
12  24 d4a34a14  48  cdc D46 A54D4
12  24 d42a116  1152  eb D46D46
12  24 a42a32a22a12  4  bcbh A46 A64
12  24 a34a32a14  32  fdg A38A72D52
12  25 a5a32a3a14a1  8  cefdc 
12  25 a5a32a22a2a1a1  2  bebbdh 
12  25 d4a32a3a22a12  4  bddac 
12  25 d4a4a24a14  8  dcae 
12  25 a5a32a22a12a12a1  4  bfbdhf 
12  25 a5a3a3a22a12a1a1a1  2  bfebhdee 
12  25 a42a3a3a2a12a1  2  bbcade 
12  25 a4a4a3a3a2a1a1a1  1  bbccbddd 
12  25 a42a3a24  4  bbb 
12  25 a42a32a14a12  4  bche 
12  25 d4a32a24a1a1  8  bdaeg 
12  25 d4a33a16a1a1  12  cdegb 
12  25 a4a32a32a2a1  2  abcbc 
12  25 a42a3a22a2a1a1a1  2  bcbbfdh 
12  25 a4a4a3a2a2a2a1a1a1  1  bbcabbhhd 
12  25 a4a34a14  8  ach 
12  25 a4a32a3a3a12a12  2  bbcfde 
12  25 a4a33a23a1  6  bbag 
12  25 a4a3a3a3a2a2a2a1  1  bbbebbah 
12  25 a34a3a3a12  8  bfdc 
12  25 a4a32a3a22a12a1a1  2  bccbhge 
12  25 a4a32a3a22a12a12  2  bcfbhh 
12  25 a32a32a3a22a12  4  edbbh 
13  24 a44a14  24  cc A54D4A64
13  24 a5a4a3a3a2a2a1  2  bebbddd A54D4 A64
13  24 a42a34  16  bb A46 A72D52
13  24 a42a4a3a22a12  4  ccahb A46 A72D52
13  24E  a38  2688  a 2A38
13  25 a6a26a13  12  dhd 
13  25 a44a12  24  ca 
13  25 a5a4a32a2a12  2  bfbdc 
13  25 d4a4a33a12  6  bdac 
13  25 d42a26  72  cc 
13  25 a5a4a3a2a2a2a1a1  1  bebhdeda 
13  25 a5a4a3a2a2a2a1a1  1  bebhdddd 
13  25 d4a4a3a3a2a2a1a1  1  bdaaeccb 
13  25 a42a4a3a22  2  bcbd 
13  25 a4a4a4a3a2a1a1a1  1  bccbdbcd 
13  25 a5a33a23  6  bbd 
13  25 a5a32a3a22a2  2  abbhc 
13  25 a5a4a22a22a2a12  2  behdfd 
13  25 a5a32a3a22a12a1  2  bbbedd 
13  25 a4a4a3a3a3a2a1  1  bcbbbdc 
13  25 a4a4a3a3a3a2a1  1  bbbabdb 
13  25 a43a23a13  6  cdb 
13  25 d4a33a23a2  6  bacg 
13  25 a42a3a3a22a2a1  2  ebaddd 
13  25 a5a29  72  cf 
14  21 d4a37  336  ag A38
14  22 a44a3a22  16  aab A46
14  23 a5a42a3a3a12a1  4  bbddaf A54D4
14  23 d4a43a22a12  12  caca A54D4
14  23 a5d4a33a13a12  12  dfega A54D4
14  23 a52a3a24a12  16  efda A54D4
14  23 d42a34a12  96  dcd D46
14  24 a5a43a13  12  cbe A64 A64
14  24 a52a32a22  8  eda A64A64
14  24 a6a33a23  12  bhd A64A64
14  24 d4a42a4a22  4  caac A54D4 A72D52
14  24 a5d4a32a3a12a1  4  dfecbg A54D4 A72D52
14  24 a52a32a12a12a12  8  febcg A54D4A72D52
14  24 a5a42a3a3a1  4  bbddf A54D4A72D52
14  24 d42a34  32  dc D46A72D52
14  24 a43a33  12  bh A46A83
14  24 a38  384  g A38D64
14  25 d5a32a24a12  8  bgbb 
14  25 d5a33a18  48  cgc 
14  25 a6a32a3a22a1  2  bhhcf 
14  25 a52a3a3a14  8  efee 
14  25 a6a32a3a2a12a12  2  bhhdeg 
14  25 d4a43a13a1  6  cabc 
14  25 a5d4a3a3a22a1  2  deeccb 
14  25 a5a5a3a22a12a1a1  2  efddefg 
14  25 a5a42a3a2a12  2  bbfdf 
14  25 a5a4a4a3a2a1a1  1  cbbdabe 
14  25 d4a42a32a12  4  baeb 
14  25 d42a32a3a14  8  dcbb 
14  25 a5a42a3a12a12a1  2  cbhcee 
14  25 a5d4a32a14a12a1  4  dfegcg 
14  25 a5a4a3a3a3a2  1  bbhddc 
14  25 a5a4a3a3a3a2  1  bbeddc 
14  25 a5a42a22a2a12  2  cbddf 
14  25 a44a22  8  ba 
14  25 d4a4a4a3a2a2a1a1  1  caaecbbg 
14  25 a5a4a3a3a3a1a1a1  1  bbhedbfg 
14  25 a5a32a32a3a1  4  dddcg 
14  25 a5a32a3a3a3a1  2  bheddf 
14  25 a5a4a32a22a12a1  2  cbhdge 
14  25 a42a4a32a2a1  2  bbdbf 
14  25 a4a4a4a3a3a2a1  1  abbdhcf 
14  25 a42a4a3a22a2a1  2  bahbdf 
14  25 d4a34a3a14  8  fegg 
15  24 a52a42a12  4  bdc A64 A72D52
15  24 a6a4a4a3a2a1a1  2  chhceaa A64 A72D52
15  24 a52a4a3a22  4  bfdf A54D4 A83
15  24 a44a32  16  hb A46A92D6
15  25 d5a35  20  ab 
15  25 d5a4a32a22a12  2  bgbba 
15  25 a6a42a3a12a1  2  chdcb 
15  25 a6a4a4a2a2a1a1a1  1  chhefacc 
15  25 a5d4a42a12a1  2  abeab 
15  25 a5a5a4a3a2a1  1  bbddea 
15  25 a6a4a3a3a2a2a1  1  bhdcfga 
15  25 a6a4a32a22a1  2  bhdfc 
15  25 d42a42a22  4  acb 
15  25 a52a4a3a12a12  2  bedcc 
15  25 a5d4a4a3a2a2a1  1  abecbba 
15  25 a52a32a3a12  2  bdac 
15  25 a5a42a4a2a12  2  adfec 
15  25 a5a42a4a2a12  2  addca 
15  25 a5a4a4a4a2a1a1  1  bhddeca 
15  25 a45  5  d 
15  25 a5a4a4a3a3a2  1  bhdcab 
15  25 d4a42a32a3  2  bccb 
16  21 d4a45  40  ab A46
16  22 a52d4a32a3  8  ceba A54D4
16  22 a53a3a3a13  12  ecad A54D4
16  22 d44a3a16  144  bdc D46
16  23 a6a5a4a3a2a12a1  2  bhdecah A64
16  23 a53a4a12a1  6  daag A64
16  24 d5d4a34  16  dgb A72D52 A72D52
16  24 d5a5a32a3a12a1  4  fgbceb A72D52 A72D52
16  24 a52d42a12  16  cef A72D52 A72D52
16  24 a7a34a14  16  fge A72D52 A72D52
16  24 d5a4a42a22  4  cbba A72D52 A72D52
16  24 a6d4a42a2  4  ahcb A72D52 A72D52
16  24 a6a5a4a3a2a1  2  bhdech A64 A83
16  24 a52d4a32a12  4  eegd A54D4 A92D6
16  24 a5a5a42a3  4  dddf A54D4A92D6
16  24 a52d4a32a12  8  eebd A54D4 D64
16  24 d44a18  48  bc D46 D64
16  24E  a46  240  a 2A46
16  25 a7a34a12  8  fff 
16  25 a7a3a3a3a22a12  2  efggch 
16  25 a5d43a13  36  bcb 
16  25 d5a42a3a3a1a1  2  bbcbdb 
16  25 d5d4a33a13a1  6  dgbec 
16  25 d5a5a3a24a1  4  egcad 
16  25 a6a5a4a2a2a1a1  1  bhdcagh 
16  25 d5a4a34  4  bbb 
16  25 d5a42a3a22a12  2  cbcae 
16  25 a6d4a4a3a2a1a1  1  ahcgafe 
16  25 a52a5a3a2  2  deeb 
16  25 a6a5a3a3a2a2  1  bhfebc 
16  25 a6a5a3a3a2a1a1a1  1  bhegchhh 
16  25 a6a42a32a1  2  bcee 
16  25 a5a5a5a22a12a1  2  defchd 
16  25 a52d4a3a22  4  cfcb 
16  25 a5a5d4a3a22  2  ccdga 
16  25 a6d4a32a22a2  2  ahgab 
16  25 a5a5a4a4a2a1  1  ddddcg 
16  25 a5a5a4a4a2a1  1  ddadad 
16  25 a6a4a4a3a2a2a1  1  bddecah 
16  25 a5d4a42a3a1  2  edccb 
16  25 a5d42a32a1a1a1  2  cebecf 
16  25 a52a4a32a12  2  haeh 
16  25 a52a4a3a3a12  2  ddebd 
16  25 a5a5a4a3a3a1a1  1  eddefdg 
16  25 a52a34  8  cf 
16  25 a52a4a3a22a12  2  hdcch 
16  25 d4a42a4a32  2  hcbb 
17  24 a7a42a32  4  bfc A72D52 A83
17  24 a62a4a3a12  4  hebb A72D52 A83
17  24 a6a5a5a3a2  2  dddcg A64 A92D6
17  24 a62a32a22  4  hah A64 A92D6
17  24 a54  24  a A64 D64
17  25 a7a4a4a3a2a1  1  bfgcgb 
17  25 a62a32a2a1  2  hcfa 
17  25 a7a42a22a2a1  2  bfhea 
17  25 d5d4a42a22  2  abbb 
17  25 d5a5a4a3a3a1  1  bbbaab 
17  25 d5a5a4a3a2a2a1  1  bbbaedb 
17  25 a6a5d4a3a2a1  1  ecdafb 
17  25 a6a5a42a12  2  ddeb 
17  25 a6a5a4a3a3  1  dcgbc 
17  25 a6a5a4a3a3  1  dcfcc 
17  25 a6a5a4a3a3  1  dceac 
17  25 a52d4a4a3  2  cdbb 
17  25 a6a4a4a4a3a1  1  deffab 
18  21 a53d4d4a1  12  bcab A54D4
18  22 a62a42a3  4  caa A64
18  23 a6d5a4a4a2a12  2  bhaaba A72D52
18  23 a62d4a4a12  4  ceba A72D52
18  23 d5a52d4a12a12  4  ebcfa A72D52
18  23 a7a5a42a12a1  4  dfcag A72D52
18  23 a7d42a32a12  8  cgfa A72D52
18  23 d52a34a12  16  gea A72D52
18  24 a7a52a22  8  ffa A83 A83
18  24 a7a5a42a1  4  dfcg A72D52 A92D6
18  24 a7a5d4a3a1a1a1  2  eggfdfc A72D52 A92D6
18  24 a6d5a4a4a2  2  bhaab A72D52 A92D6
18  24 d52a34  16  gb A72D52 D64
18  24 d5a52d4a12  4  ebbc A72D52 D64
18  24 a52a5d4a3a1  4  gbcdb A54D4 A11D7E6
18  24 a54a14  48  cb A54D4 E64
18  25 d6a34a3a12  8  ddcd 
18  25 a7a52a14  8  fge 
18  25 a7a5d4a22a1  2  egfbc 
18  25 a7d42a3a14  4  cgef 
18  25 a7a5a4a3a2  1  dfchb 
18  25 a62a5a2a1a1  2  deaed 
18  25 a7a5a4a3a1a1a1  1  dgchfeg 
18  25 a6d5a4a3a2a1a1  1  bhaebfd 
18  25 d5a5a5a4a1a1  1  dbcacc 
18  25 a7a5a32a3a1  2  dggfd 
18  25 a7a5a32a3a1  2  dfhfg 
18  25 a6a6a4a3a2a1  1  cdchbg 
18  25 a6a5a5a4a1  1  aeecc 
18  25 d5a5d4a32a12a1  2  ebcefb 
18  25 d5d42a32a3  4  cbbc 
18  25 d5a5a42a3a1  2  dbadf 
18  25 d5a5a42a3a1  2  dbabb 
18  25 a6a5d4a4a2a1  1  cgeabf 
18  25 a6a5a4a4a3  1  cfacg 
18  25 a52d42a3a12  2  bgff 
18  25 a6a42a42a1  2  bcag 
19  24 a8a42a32  4  hhb A83 A92D6
19  24 a7a6a5a2a1  2  dfceb A83 A92D6
19  24 a6a6a5a4a1  2  eeaha A64 A11D7E6
19  24E  d46  2160  d 2D46
19  24E  a54d4  48  aa 2A54D4
19  25 d6a42a4a22  2  addc 
19  25 a8a4a4a3a2a1  1  hghbfb 
19  25 a8a42a22a2a1  2  hhgeb 
19  25 a7a6a4a2a2a1  1  dfheeb 
19  25 d52a4a4a22  2  bbec 
19  25 a6d5d4a4a2  1  bcaec 
19  25 a6d5a5a3a2a1  1  bdabca 
19  25 a7a52a3a12  2  dcab 
19  25 d5a53a1  3  aaa 
19  25 a7a52a22a12  2  dcdb 
19  25 a7a5a4a4a2  1  achgc 
19  25 a7d4a4a4a3  1  ccefb 
19  25 a62a5a3a2  2  fbad 
19  25 a6a53  6  cb 
19  25 a6a52a5  2  ecb 
19  25 a6a5a5d4a2  1  babcc 
19  25 d5a52a4a22  2  dadc 
20  20 d5a54  16  ad A54D4
20  20 d5d45  120  dc D46
20  21 a63d4a2  6  aaa A64
20  22 a7d5a5a3a3a1  2  bgecad A72D52
20  22 d52a52a3  8  bba A72D52
20  22 a72a32a3a12  8  gdae A72D52
20  23 a7a62a12a12  4  ecga A83
20  23 a72a4a3a12  4  faea A83
20  23 a8a52a22a12  4  dhba A83
20  24 a72d4a14  8  gff A92D6 A92D6
20  24 d6a52a32  8  edd A92D6 A92D6
20  24 a8a52a3  4  dge A92D6 A92D6
20  24 d6a52a32  4  edc D64 A92D6
20  24 d6d43a16  12  bcb D64 D64
20  24 a7d5a5a3a1a1a1  2  cgefecd A72D52 A11D7E6
20  24 d5d5a52a12  4  bced A72D52 A11D7E6
20  24 a7d5d4a3a3  2  bgecf A72D52 A11D7E6
20  24 a6a6d5a4  2  aaeb A72D52 A11D7E6
20  24 d52a52a12  8  cbc A72D52 E64
20  24 a62a52  4  ch A64 A122
20  24 d46  48  c D46 D83
20  25 a8a52a12a12  2  dhfg 
20  25 d6a52a3a12a1a1  2  eddfeb 
20  25 d6a5d4a32a1  2  ccdcd 
20  25 a7a7a3a22a12  2  fggbg 
20  25 a8d4a4a3a3  1  chbff 
20  25 d52a5d4a12a1  2  bbecb 
20  25 a7d5a42a1a1  2  cfbcf 
20  25 a7a6a5a3  1  ecfe 
20  25 a62d5a3a12  2  aedd 
20  25 a7d5a4a3a3  1  bfbfc 
20  25 a7a6a5a2a1a1a1  1  echbgfe 
20  25 a7a6a4a4a1  1  ecbad 
20  25 a62a6a3a1  2  abee 
20  25 a6a6a6a3a1  1  caceg 
20  25 a6d5a5a4a2a1  1  aeebad 
20  25 a6a6a5d4a1  1  abfhd 
20  25 a7a52a4a12  2  ehag 
20  25 d5a